Nombre réel ou imaginaire pur - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on donne les points \(\text A(-5) , \text B(2i)\)  et \(\text M(z)\) avec \(z \neq 2i\) , et \(\text M'(z')\) où \(z'=\dfrac{z+5}{z-2i}\) .  Déterminer les ensembles de points suivants.

1. L'ensemble \(\mathscr{E}_1\) des points \(\text M\) tels que \(\text O\text M'=1\) .

2. L'ensemble \(\mathscr{E}_2\) des points \(\text M\) tels que \(\text M'\) est sur l'axe réel.

3. L'ensemble \(\mathscr{E}_3\) des points \(\text M\) tels que \(\text M'\) est sur l'axe imaginaire.

Solution

1. Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On a :
\(\begin{align*}\text M(z) \in \mathscr{E}_1& \Longleftrightarrow\left\vert \text O\text M'=1\right\vert\\ & \Longleftrightarrow\left\vert z' - z_O \right\vert = 1\\ & \Longleftrightarrow\left\vert \frac{z+5}{z-2i} \right\vert = 1\\ & \Longleftrightarrow\frac{ \left\vert z+5 \right\vert}{\left\vert z-2i \right\vert} = 1\\ & \Longleftrightarrow\left\vert z+5 \right\vert = \left\vert z-2i \right\vert\\ & \Longleftrightarrow\left\vert z - z_\text A \right\vert = \left\vert z - z_\text B \right\vert\Longleftrightarrow \text A\text M=\text B\text M\end{align*}\)
donc \(\mathscr{E}_1\) est la médiatrice du segment \([\text A\text B]\) .

2. Soit \(z \in \mathbb{C}\) .
Si \(z=z_\text A\) , alors \(z'=0\) et donc \(\text M'\) est sur l'axe réel.
Si \(z \neq z_\text A\) , \(\text M'\) est sur l'axe des réel si et seulement si \(\arg (z') \equiv 0 [\pi]\)   si et seulement si \(\arg \left( \dfrac{z+5}{z-2i} \right) \equiv 0 [\pi]\)   si et seulement si \(\arg \left( \dfrac{z-z_\text A}{z-z_\text B} \right) \equiv 0 [\pi]\)   si et seulement si \(\left( \overrightarrow{\text B\text M};\overrightarrow{\text A\text M}\right) \equiv 0 [\pi]\)   si et seulement si \(\left(\overrightarrow{\text M\text B};\overrightarrow{\text M\text A}\right) \equiv 0 [\pi]\)  
donc \(\mathscr{E}_2\) est la droite \((\text A\text B)\) privée du point \(B\) .

3. Soit \(z \in \mathbb{C}\) .
Si \(z=z_A\) , alors \(z'=0\) et donc \(\text M'\) est sur l'axe imaginaire.
Si \(z \neq z_A\) , \(\text M'\) est sur l'axe des imaginaire si et seulement si \(\arg (z') \equiv \dfrac{\pi}{2} [\pi]\)   si et seulement si  \(\left(\overrightarrow{\text M\text B};\overrightarrow{\text M\text A}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2} [\pi]\)
donc \(\mathscr{E}_3\) est le cercle de diamètre \([\text A\text B]\) privé du point \(\text B\) .